Ya me gustaría correr tan rápido
Para quienes no me conozcáis, que seréis la mayoría de quienes leáis esto, sabed que me gusta salir a correr. Y suelo hacerlo en un circuito circular que tiene un kilómetro. Como ya llevo un tiempo con eso de salir a correr, suelo darle entre cuatro y seis vueltas. Pongamos que le doy cinco de media. Y lo que me gusta hacer es ir aumentando la velocidad las dos o tres primeras vueltas para luego ir reduciéndola hasta que termino. Y con todo esto de las pulseras de actividad, smartwatches y demás, pues tengo la suerte de tener los datos guardados. En la siguiente tabla podéis ver lo que hice la semana pasada, cuando di seis vueltas:
Como podéis ver, la primera vuelta la di poco más que andando rápido y tardé cinco minutos y medio. A partir de ahí fui aumentando poco a poco el ritmo, hasta la última vuelta que la hice algo más despacio.
Y ahora es donde lanzo la pregunta por la que os estoy contado todo esto. ¿A qué velocidad media hice los seis kilómetros?
La respuesta “fácil”, quizás intuitiva, pero errónea, como veremos, es hacer la media aritmética de las velocidades, la que todos usamos de manera habitual: (10,9 + 13,3 + 15,0 + 17,1 + 17,1 + 12,0) / 6 = 14,3 Km/h
Vamos a ver cómo esta respuesta no es la correcta. Para ello, lo que podemos hacer es algo tan sencillo como sumar los kilómetros totales que hice, seis, y el tiempo total que tardé en hacerlos, 26 minutos. De ahí se concluye que la velocidad media a la que hice el circuito fue de 13,8 Km/h, un ritmo claramente inferior al que nos decía la intuición.
Como podéis ver, la primera vuelta la di poco más que andando rápido y tardé cinco minutos y medio. A partir de ahí fui aumentando poco a poco el ritmo, hasta la última vuelta que la hice algo más despacio.
Y ahora es donde lanzo la pregunta por la que os estoy contado todo esto. ¿A qué velocidad media hice los seis kilómetros?
La respuesta “fácil”, quizás intuitiva, pero errónea, como veremos, es hacer la media aritmética de las velocidades, la que todos usamos de manera habitual: (10,9 + 13,3 + 15,0 + 17,1 + 17,1 + 12,0) / 6 = 14,3 Km/h
Vamos a ver cómo esta respuesta no es la correcta. Para ello, lo que podemos hacer es algo tan sencillo como sumar los kilómetros totales que hice, seis, y el tiempo total que tardé en hacerlos, 26 minutos. De ahí se concluye que la velocidad media a la que hice el circuito fue de 13,8 Km/h, un ritmo claramente inferior al que nos decía la intuición.
Y es que para calcular la velocidad media no podemos usar la media aritmética a no ser que hubiera dado todas las vueltas al mismo ritmo. Como no fue así, lo que tenemos que hacer es utilizar la media armónica, normalmente representada con la letra H. Como no soy matemático y como lo que sí quiero es que leáis este post hasta el final, no me voy a extender con su interpretación matemática o geométrica, pero sabed que se calcula mediante la siguiente expresión:
Esto es, el número de observaciones dividido entre la suma de los recíprocos de cada observación. Haciendo este cálculo llegaréis a la solución de los 13,8 Km/h de velocidad media, como podéis ver en las siguientes tablas:
Y qué tendrá que ver todo este rollo con los mercados financieros o las inversiones, os preguntaréis.
Pues tiene mucha relación con la forma en la que en muchas ocasiones veo que se calculan datos de una cartera de renta variable.
Y es que, para calcular la media de múltiplos de valoración que utilizan el precio para una cartera, tales como el PER o el PB, no es correcto utilizar la media aritmética. Igual que nos pasa con la velocidad, tenemos que recurrir a la media armónica. Es más, al contar, normalmente, con diferentes pesos de los activos en una cartera, deberemos usar la media armónica ponderada, que tiene la siguiente forma:
donde wi indica el peso del activo i en la cartera. Lo podéis ver más claro con el siguiente ejemplo.
Imaginad que tenemos una cartera con dos acciones, A y B, con las cotizaciones, posiciones y datos de BPA (beneficio por acción) y PER que se indican. Si comenzaseis a leer aquí, sin haber visto el ejemplo de la velocidad, y os preguntase el PER medio de la cartera, es probable que hicieseis lo siguiente:
PER medio cartera = 50 * 70% + 5 * 30% = 36,5
Y estoy convencido de que, si no todos, muchos hacéis así el cálculo.
Vamos a ver antes de aplicar la fórmula matemática, el desarrollo de por qué esto no es correcto. A la tabla anterior le añadimos una columna que indica el beneficio “pagado” en esta cartera.
La empresa A, de la que tenemos 2.000 acciones, tiene un beneficio por acción de 7 EUR. Por tanto, en la cartera hemos pagado por un beneficio de 14.000 EUR (2.000 * 7). Haciendo igual para la empresa B, vemos que hemos pagado por un beneficio de 60.000 EUR. ¿Y cuánto hemos pagado por ese beneficio de 74.000 EUR en total? Hemos pagado 1.000.000 EUR, que es nuestra posición de cartera. Bien, si ahora dividimos el precio pagado entre el beneficio por el que hemos pagado, es decir, calculamos el PER, tendremos:
PER cartera = 1.000.000 / 74.000 = 13,5
Como veis, la diferencia frente al cálculo previo de 36,5 veces es muy significativa. Pero esta es la forma correcta de hacer los cálculos, así que empezad a usarla desde ya quienes no lo estéis haciendo.
En las dos tablas siguientes podéis ver el detalle del cálculo:
Por cierto, como decía Steve Jobs, “one more thing”. Toda la historia del comienzo de que me gusta correr y demás no es cierto. Era solo una licencia que me he tomado para ilustrar el ejemplo. Espero que me perdonéis por mentir.
